Sistemi di coordinate: generalità

Alcuni concetti di base da conoscere prima di iniziare lo studio dei sistemi di coordinate: scalari, vettori, tensori e matrici e l'introduzione delle tipologie di spazio

Concetti di base

Prima di addentrarci nei sistemi di coordinate è bene introdurre velocemente alcuni concetti di base che semplificheranno la lettura

Prima di iniziare a parlare di sistemi di coordinate sarà bene fornire qualche breve definizione, con l'aiuto di qualche esempio, per comprendere appieno il significato di ciò che andremo a dire. 

Qualche definizione: quantità fisiche

Gli scalari sono delle quantità che possono essere descritte semplicemente con un numero.

Esempi ne sono la temperatura, la massa o la distanza: non c'è bisogno di specificare altro per far comprendere il senso del numero. Se una stella dista 10 anni luce, l'informazione è completa. Il numero descrive la lontananza ed è sufficiente: è uno scalare. 

Se l'informazione che dobbiamo fornire è più ricca occorre andare oltre il semplice numero. Ad esempio, per una stella potremmo voler sapere non solo la distanza ma anche la direzione del suo movimento.

In tal caso ci serve un vettore: una quantità che ha una grandezza (come lo scalare) e una direzione.

Un esempio tangibile è la velocità, per la quale riusciamo a sapere a che velocità si muove un oggetto (scalare) e in che direzione si sta muovendo (vettore). 

Un tensore è una quantità più generale di quelle viste finora, in grado di descrivere delle relazioni complesse tra grandezze in più direzioni (in questo si differenzia dal vettore). Pensiamo allo stress su un materiale, che può agire in più direzioni contemporaneamente e che può essere rappresentato benissimo dalle forze di gravità cui è soggetto un pianeta nello spazio, attratto da un lato dal Sole, da altri lati dalle sue lune e da altri ancora dagli altri pianeti.

Qualche definizione: le tipologie di spazio

Lo spazio topologico è una definizione generale di spazio caratterizzata a sua volta dalla forma ed è l'oggetto base della topologia, una branca della matematica che studia le proprietà delle figure che non si modificano all'applicazione di una deformazione che non comporti soluzione di continuità. Il caso più intuitivo è quello di uno spazio fisico, ma basti pensare a uno spazio temperatura-pressione-densità della termodinamica per capire come esistano spazi "comprensibili" anche con variabili puramente fisiche.

Le tipologie di spazio dipendono dalle proprietà geometriche e topologiche dello spazio stesso. Alcune tra le tipologie principali sono: 

• Spazio euclideo: è il più semplice e intuitivo poiché ha origine nella geometria classica di Euclide e descrive la geometria piana. Viene utilizzato per descrivere fenomeni di uso comune.
• Spazio non-euclideo: descrive superfici non spiegabili dallo spazio precedente, come ad esempio le superfici curve. In genere si distingue tra geometria ellittica, con uno spazio curvato positivamente come una sfera, e geometria iperbolica, con una curvatura negativa come una sella. 
• Spazio curvo o di Riemann: descrive uno spazio con curvatura variabile da punto a punto, nel quale distanze e angolazioni devono utilizzare il concetto di tensore. Viene utilizzato nella Relatività Generale per descrivere lo spazio-tempo intorno a oggetti compatti come buchi neri o stelle di neutroni;
• Spazio affine: simile allo spazio euclideo ma privo di una origine. In questo spazio le distanze si misurano tra punti ma non rispetto a una origine.
• Spazio proiettivo: descrive uno spazio in cui i punti all'infinito vengono aggiunti allo spazio ordinario. Viene utilizzato nella Relatività, laddove gli oggetti a grande distanza devono essere rappresentati per proiezione.
• Spazio Fase: descrive uno spazio astratto in cui le coordinate rappresentano sia la posizione sia il momento di un sistema. Viene utilizzato nella meccanica classica, nella quantistica e nella termodinamica.
• Spazio-Tempo: descrive uno spazio a quattrodimensioni che combina le tre dimensioni spaziali con il tempo. Si curva in presenza di masse e descrive le dinamiche dei corpi su larga scala. Viene utilizzato nella Relatività.
• Spazio Termodinamico: descrive uno spazio astratto in cui le variabili sono grandezze puramente fisiche, come temperatura, pressione e volume.
• Spazio di Kalabi-Yau: descrive uno spazio teorico, con dimensioni extra dell'universo derivanti dalla teoria delle stringhe. Per le misurazioni richiede coordinate complesse e tecniche di geometria differenziale avanzata.

I sistemi di coordinate: generalità

Per trovare un corpo celeste nel cielo ci basiamo su un sistema di numeri appartenenti che caratterizzano ciò che chiamiamo coordinate

Il concetto di spazio, quindi, può abbracciare anche tipologie che con il senso comune del mondo fisico non hanno nulla a che vedere, ma altre tipologie possono essere rappresentate tramite sistemi di coordinate che consentono di descrivere, si, lo spazio stesso ma anche i fenomeni che avvengono al suo interno. E lo spazio rappresentato può essere di diverso tipo: bidimensionale o multidimensionale e dei tipi visti precedentemente.

Un sistema di coordinate è quindi un insieme di regole matematiche che permette di descrivere la posizione di un punto all'interno di uno spazio, assegnando un insieme di valori numerici (coordinate) a ogni punto rappresentanti le distanze o angoli rispetto a un'origine e a degli assi o direzioni di riferimento prestabiliti.

Esempi comuni di sistemi di coordinate includono:

• Sistema cartesiano: Definisce la posizione di un punto mediante coordinate x,y,z  misurate rispetto a un'origine e a tre assi perpendicolari tra loro;
• Coordinate polari o sferiche: Usate per descrivere punti in uno spazio curvo o radiale tramite distanza da un punto di origine;
• Coordinate celesti: Sistemi usati in astronomia per descrivere la posizione di oggetti nel cielo.

Qualsiasi sistema di coordinate ha bisogno di definire, quindi:

1. la tipologia di spazio (es. euclideo);
2. una origine;
3. una direzione.

Se i vettori che definiscono un sistema di coordinate sono localmente perpendicolari, allora si parla di ortogonalità. Se lo spazio rappresentato è euclideo e i vettori sono ortogonali, allora siamo di fronte al piano Cartesiano, riconoscibile dal classico diagramma con gli assi xyz. Se immaginiamo questo piano Cartesiano disegnato su un foglio, allora possiamo riuscire a piegare tutto mantenendo l'ortogonalità tra i vettori: in tal caso non si parla più di spazio euclideo né di piano Cartesiano ma si continua a parlare di ortogonalità. Sembra un concetto complicato ma l'esempio è sotto i vostri piedi ed è la Terra: non si tratta di uno spazio euclideo ma le coordinate (latitudine e longitudine) continuano a essere ortogonali.

Relativamente all'origine, in meccanica celeste esistono quattro posizioni importanti che definiscono set di sistemi differenti:

1. origine = osservatore: dà origine al sistema di coordinate topocentriche; 
2. origine = centro della Terra: dà origine al sistema di coordinate geocentriche;
3. origine = centro del Sole: dà origine al sistema di coordinate eliocentriche;
4. origine = centro di massa del Sistema Solare: dà origine al sistema di coordinate baricentriche.

Per passare da un sistema all'altro si usa il concetto di matrice: uno strumento matematico, visto come una tabella di numeri, spesso utilizzato per trasformazioni. E', ad esempio, possibile trasformare le coordinate geocentriche in coordinate eliocentriche "trasformando" i vettori tramite matrice.